Định lý giá trị trung bình dạng tích phân thứ nhất

Định lý giá trị trung bình dạng tích phân thứ nhất khẳng định rằng:

Giả sử G : [ a , b ] → R {\displaystyle G:[a,b]\to \mathbb {R} } là một hàm liên tục và φ {\displaystyle \varphi } là một hàm khả tích không đổi dấu trên khoảng ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} , khi đó tồn tại x ∈ ( a , b ) {\displaystyle x\in (a,b)} sao cho ∫ a b G ( t ) φ ( t ) d t = G ( x ) ∫ a b φ ( t ) d t . {\displaystyle \int _{a}^{b}G(t)\varphi (t)\,dt=G(x)\int _{a}^{b}\varphi (t)\,dt.}

Đặc biệt, nếu φ ( t ) = 1 {\displaystyle \varphi (t)=1} với mọi t ∈ ( a , b ) {\displaystyle t\in (a,b)} , khi đó tồn tại x ∈ ( a , b ) {\displaystyle x\in (a,b)} sao cho

∫ a b G ( t ) d t = G ( x ) ( b − a ) . {\displaystyle \int _{a}^{b}G(t)\,dt=G(x)(b-a).}

Đẳng thức này thường được viết dưới dạng

G ( x ) = 1 b − a ⋅ ∫ a b G ( t ) d t . {\displaystyle G(x)={\frac {1}{b-a}}\cdot \int _{a}^{b}G(t)\,dt.}

Giá trị G ( x ) {\displaystyle G(x)} được gọi là giá trị trung bình của G ( t ) {\displaystyle G(t)} trên đoạn [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} .

Chứng minh của định lý giá trị trung bình dạng tích phân thứ nhất

Không mất tính tổng quát, giả sử φ ( t ) ≥ 0 {\displaystyle \varphi (t)\geq 0} với mọi t {\displaystyle t} . Từ định lý cực trị, hàm liên tục G {\displaystyle G} có các giá trị cực tiểu m {\displaystyle m} và giá trị cực đại M {\displaystyle M} hữu hạn trên đoạn [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} . Từ tính đơn điệu của tích phân và bất đẳng thức m ≤ G ( t ) ≤ M , ∀ t ∈ [ a , b ] {\displaystyle m\leq G(t)\leq M,\,\forall t\in [a,b]} , cùng với giả thiết φ ( t ) {\displaystyle \varphi (t)} không âm, ta có

m I = ∫ a b m φ ( t ) d t ≤ ∫ a b G ( t ) φ ( t ) d t ≤ ∫ a b M φ ( t ) d t = M I , {\displaystyle mI=\int _{a}^{b}m\varphi (t)\,dt\leq \int _{a}^{b}G(t)\varphi (t)\,dt\leq \int _{a}^{b}M\varphi (t)\,dt=MI,}

với I := ∫ a b φ ( t ) d t {\displaystyle I:=\int _{a}^{b}\varphi (t)\,dt} ký hiệu tích phân của φ ( t ) {\displaystyle \varphi (t)} trên [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} . Do đó, nếu I = 0 {\displaystyle I=0} , ta có đẳng thức xảy ra với mọi x ∈ ( a , b ) {\displaystyle x\in (a,b)} . Vì vậy, ta có thể giả sử I > 0 {\displaystyle I>0} . Chia cả hai vế cho I {\displaystyle I} và ta nhận được

m ≤ 1 I ⋅ ∫ a b G ( t ) φ ( t ) d t ≤ M {\displaystyle m\leq {\frac {1}{I}}\cdot \int _{a}^{b}G(t)\varphi (t)\,dt\leq M} .

Từ định lý giá trị trung gian, ta suy ra hàm liên tục G ( t ) {\displaystyle G(t)} đạt được mọi giá trị trong đoạn [ m , M ] {\displaystyle [m,M]} , đặc biệt, tồn tại x ∈ [ a , b ] {\displaystyle x\in [a,b]} sao cho

G ( x ) = 1 I ⋅ ∫ a b G ( t ) φ ( t ) d t . {\displaystyle G(x)={\frac {1}{I}}\cdot \int _{a}^{b}G(t)\varphi (t)\,dt.}

Từ đây ta có điều cần chứng minh.

Định lý giá trị trung bình cho tích phân thứ hai

Có nhiều định lý khác nhau đôi chút cùng được gọi là định lý giá trị trung bình thứ hai dạng tích phân. Một phiên bản thông dụng như sau:

Nếu G : [ a , b ] → R {\displaystyle G:[a,b]\to \mathbb {R} } là một hàm dương, đơn điệu giảm và φ : [ a , b ] → R {\displaystyle \varphi :[a,b]\to \mathbb {R} } là một hàm khả tích, khi đó tồn tại x ∈ ( a , b ] {\displaystyle x\in (a,b]} sao cho ∫ a b G ( t ) φ ( t ) d t = G ( a + 0 ) ∫ a x φ ( t ) d t . {\displaystyle \int _{a}^{b}G(t)\varphi (t)\,dt=G(a+0)\int _{a}^{x}\varphi (t)\,dt.}

Ở đây G ( a + 0 ) {\displaystyle G(a+0)} ký hiệu cho lim x → a + G ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}G(x)} , từ các điều kiện đã cho có thể suy ra giới hạn này tồn tại. Chú ý rằng x ∈ ( a , b ] {\displaystyle x\in (a,b]} có chứa điểm b {\displaystyle b} là một điều kiện quan trọng. Một biến thể khác của định lý không có điều kiện này như sau:

Nếu G : [ a , b ] → R {\displaystyle G:[a,b]\to \mathbb {R} } là một hàm đơn điệu (không nhất thiết phải giảm và dương) và φ : [ a , b ] → R {\displaystyle \varphi :[a,b]\to \mathbb {R} } là một hàm khả tích, khi đó tồn tại x ∈ ( a , b ) {\displaystyle x\in (a,b)} sao cho ∫ a b G ( t ) φ ( t ) d t = G ( a + 0 ) ∫ a x φ ( t ) d t + G ( b − 0 ) ∫ x b φ ( t ) d t . {\displaystyle \int _{a}^{b}G(t)\varphi (t)\,dt=G(a+0)\int _{a}^{x}\varphi (t)\,dt+G(b-0)\int _{x}^{b}\varphi (t)\,dt.}

Định lý này được chứng minh bởi Hiroshi Okamura vào năm 1947.[3]